Local and global behavior of Schrödinger-type equations
Neste trabalho, consideramos o problema de valor inicial para a equação de Schrödinger não linear: i∂tu = −∆u − λ|u|α−1u, x ∈ RN , t > 0. (1) Onde u = u(t, x) é uma função complexa definida em R × RN . Estabelecemos a existência, unicidade e regularidade de soluções locais nos espaços L2(RN ) e H...
| Autor: | |
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| Tipo de recurso: | tesis de maestría |
| Estado: | Versión publicada |
| Fecha de publicación: | 2024 |
| País: | Brasil |
| Institución: | Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) |
| Repositorio: | Repositório Institucional da UFMG |
| Idioma: | inglés |
| OAI Identifier: | oai:repositorio.ufmg.br:1843/81599 |
| Acceso en línea: | http://hdl.handle.net/1843/81599 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Schrödinger equation local behavior global behavior scattering Matemática - Teses Schrodinger, Equação de - Teses Equações diferenciais parciais não-lineares – Teses Espalhamento (Matemática) – Teses |
| Sumario: | Neste trabalho, consideramos o problema de valor inicial para a equação de Schrödinger não linear: i∂tu = −∆u − λ|u|α−1u, x ∈ RN , t > 0. (1) Onde u = u(t, x) é uma função complexa definida em R × RN . Estabelecemos a existência, unicidade e regularidade de soluções locais nos espaços L2(RN ) e H1(RN ), tanto para o caso subcrítico quanto para o crítico. Estudamos esse problema usando o teorema do ponto fixo de Banach, estimativas de Strichartz e ferramentas da análise harmônica. Além disso, provamos a existência de soluções globais, sob condições que envolvem a não linearidade, o tamanho dos dados iniciais u0 ∈ H1(RN ) e o sinal de λ. Também estabelecemos um critério de espalhamento (scattering). Finalmente, estabelecemos uma teoria de espalhamento (scattering) para dados pequenos da equação não linear de Schrödinger da forma: (i∂t + ∆)u = a(x)|u|α−1u, (2) onde u : R × RN −→ C, α > 0, e a ∈ W 1,∞(RN ) para o caso intercrítico, em dimensões N ≥ 3. Encontramos estimativas de estabilidade para o problema de recuperação de informações sobre a não linearidade no termo não-homogêneo e na potência da não linearidade por meio do mapa de espalhamento (scattering map), estendendo os resultados de Chen e Murphy [4]. |
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